（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，

∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．

要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，

当a=0时，f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立；

当a＞0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞0恒成立，则a-

1

a

＞0，解得a＞1，

当a＜0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞＜0恒成立，则a-

1

a

＜0，解得a＜-1，

所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．

（2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，

∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1

∴f′（x）=（

1

x

-1）²，a_n+1=a_n²-na_n+1

下面用数学归纳法证明：

（Ⅰ）当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；

（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k-k≥2＞0，

∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3

也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2成立

根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立

②由①得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，

于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），

所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n-1+1）

累乘得：a_n+1≥2^n-1（a₁+1），则

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

（n≥2），

所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

2

5

（1-

1

2n

）＜

2

5

．