（1）f（x）=F[1，log2(x3-3x)]=(1+1)log2(x3-3x)=x³-3x，

由log2(x3-3x)＞0，得x³-3x＞1．又f′(x)=3x2-3=

15

4

，由f′（x）=0，得x=±

3

2

，

∵x³-3x＞1，∴x=-

3

2

．又f（-

3

2

）=

9

8

，∴切点为（-

3

2

，

9

8

）．

∴存在与直线4x+15y-3=0垂直的切线，其方程为y-

9

8

=

15

4

(x+

3

2

)，即15x-4y+27=0．

（2）g（x）=[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x³+ax²+bx+1．

由log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0，

由g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8，

x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）=-2x³-ax²-8x＞0在（1，4）上有解，

∴2x²+ax+8＜0在（1，4）上有解，即a＜-2x-

8

x

在（1，4）上有解，∴a＜(-2x-

8

x

)max（1＜x＜4），

而-2x-

8

x

=-（2x+

8

x

）≤-2

2x• 8 x

=-8，当且仅当x=2时取等号，∴a＜-8．

故实数a的取值范围为（-∞，-8）．

证明：（3）F（x，y）＞F（y，x）⇔（1+x）^y＞（1+y）^x⇔yln（1+x）＞xln（1+y）⇔

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，

令h（x）=

ln(1+x)

x

，则h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，当x≥2时，

x

1+x

＜1＜ln(1+x)，

∴h′（x）＜0，h（x）单调递减．

∴当2≤x＜y时，h（x）＞h（y），又当x=1且y=2时，h（1）=ln2＞

1

2

ln3=h(2)．

故当x，y∈N^*，且x＜y时，h（x）＞h（y），即F（x，y）＞F（y，x）．