问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）； （3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：f（x1）＞f（2-x2）． |
答案
（1）∵f（x）=
，∴f'（x）=x ex
．1-x ex
令f'（x）=0，解得x=1．
| x | （-∞，1） | 1 | （1，+∞） | ||
| f'（x） | + | 0 | - | ||
| f（x） | ↗ | 极大值
| ↘ |
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=
．1 e
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=
-x ex
，(2-x)ex e2
则F'（x）=
-1-x ex
=ex(1-x) e2
．(1-x)(e2-e2x) ex+2
当x＞1时，1-x＜0，2x＞2，从而e2-e2x＜0，
∴F'（x）＞0，F（x）在（1，+∞）是增函数．
∴F（x）＞F（1）=
-1 e
=0，故当x＞1时，f（x）＞g（x）．1 e
（3）证明：∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数、
∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，x1、x2不可能在同一单调区间内．
不妨设x1＜1＜x2，
由（2）的结论知x＞1时，F（x）=f（x）-g（x）＞0，∴f（x2）＞g（x2）．
∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞g（x2）．
又g（x2）=f（2-x2），∴f（x1）＞f（2-x2）．