问题
解答题
设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根．
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2．
答案
（1）f′（x）=3x2+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-2m 3
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-
≥22m 3
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．