问题 解答题

设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.

(1)求n的值;

(2)求证:f(1)≥2.

答案

(1)f′(x)=3x2+2mx+n.

∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数

∴当x=0时,f(x)取到极大值.

∴f′(0)=0.

∴n=0.

(2)∵f(2)=0

∴p=-4(m+2)

f′(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=-

2m
3

∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,

∴x2=-

2m
3
≥2

∴m≤-3.

∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.

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