（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f′（1）=f′（-1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x³-3x

（2）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，

f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2

∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|

|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4

（3）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

∵曲线方程为y=x³-3x，∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x₀，y₀），切线的斜率为3(

x

20

-1)=

x 30 -3 x  0 -m

x  0 -1

（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），

整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件

设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，则g′（x₀）=6x₀²-6x₀，

由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．

∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1

∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，解得-3＜m＜-2．

故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．