（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．

①当a≥1时，f′（x）≥0，

且仅当a=1，x=-1时，f′（x）=0，

所以f（x）是R上的增函数；

②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，

x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

，

当x∈(-∞，-1-

1-a

)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．

当x∈(-1-

1-a

，-1+

1-a

)时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．

当x∈(-1+

1-a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．

（2）由题意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的两个根，

故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a，

因此f(x1)=

1

3

x13+x12+ax1=

1

3

x1(-2x1-a) +x12+ax1

=

1

3

x12+

2

3

ax1

=

1

3

(-2x1-a)  +

2

3

ax1=

2

3

(a-1) x1-

1

3

a，

同理f(x2)=

2

3

(a-1)x2-

1

3

a．

因此直线l的方程为：y=

2

3

(a-1)x -

1

3

a．

设l与x轴的交点为（x₀，0）得x₀=

a

2(a-1)

，

f(x0)=

1

3

[

a

2(a-1)

]3+[

a

2(a-1)

]2+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

(12a2-17a+6)，

由题设知，点（x₀，0）在曲线y=f（x）上，故f（x₀）=0，

解得a=0，或a=

2

3

或a=

3

4