函数f（x）=x3+12ax2+x+1（x∈R）．（1）若f（x）在x∈（-∞，

问题解答题

函数f（x）=x3+

ax2+x+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=0时，曲线y=f（x）的切线的斜率的取值范围记为集合A，曲线y=f（x）上不同两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）连线的斜率的取值范围记为集合B，你认为集合A，B之间有怎样的关系，并证明你的结论．

答案

（1）因为f'（x）=3x²+ax+1，若△=a²-12＜0，即-2

＜a＜2

时，都有f'（x）＞0，此时函数在R上单调递增．

若△=0，即a=±2

时，f'（x）≥0，所以此时函数在R上单调递增．

若△＞0，显然不合题意，

综上若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围[-2

，2

]．

（2）设t=e^x，则t∈[1，2]，h（t）=t²-at=(t-

)2-

，

当-

≤

≤1，即-2

≤a≤2时，h（t）在[1，2]上是增函数，所以当t=1时，h（t）的最小值为h（1）=1-a，也是最小值．

当1＜

≤

，即2＜a≤2

时，h（t）的最小值为h（2

）=12-2

a．

（3）集合A，B之间的关系为B是A的真子集．

证明如下：当a=0时，f（x）=x³+x+1，f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞）．

设PQ的斜率为k，则k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

+x1x2+

+1=(x1+

)2+

+1，

若(x1+

)2+

=0，当且仅当

x2=0

x1+

，即x₁=x₂=0，这与已知x₁≠x₂矛盾，

所以(x1+

)2+

＞0，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），

即B是A的真子集．