问题
解答题
设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+
（1）求证：函数f（x）具有性质P（b）； （2）求函数f（x）的单调区间． |
答案
（1）f′（x）=
-1 x
=b+2 (x+1)2
(x2-bx+1)1 x(x+1)2
∵x＞1时，h(x)=
＞0恒成立，1 x(x+1)2
∴函数f（x）具有性质P（b）；
（2）当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x2-bx+1≥x2-2x+1=（x-1）2＞0
所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴x=
＞1，b 2
方程φ（x）=0的两根为：
，b+ b2-4 2
，而b- b2-4 2
＞1，b+ b2-4 2
=b- b2-4 2
∈(0，1)2 b+ b2-4
当x∈(1，
)时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，b+ b2-4 2
故此时f（x）在区间(1，
)上递减；b+ b2-4 2
同理得：f（x）在区间[
，+∞)上递增．b+ b2-4 2
综上所述，当b≤2时，f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，f（x）在(1，
)上递减；f（x）在[b+ b2-4 2
，+∞)上递增．b+ b2-4 2