已知f（x）=ax3+x2+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4

问题解答题

已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．

（I）求c的值；

（II）求a的取值范围；

（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（I）对函数f（x）=ax³+x²+cx求导数，得，f′（x）=3ax²+2x+c

∵f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数

∴函数f（x）在x=0处有极小值，

∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0

∴c=0

（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x

令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-

∵f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数

即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零

∴x₂∈[2，4]

即

≥2

≤4

∴-6≤

≤-3

∴-

≤a≤-

（III）假设存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，

则f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a

∵-

≤a≤-

∴-12≤36a≤-6

∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0无实数根

∴f′（x₀）=3不成立

∴不存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3．