（I）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；

（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），

函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x₁）f′（x₂）=-1，

当x＜0时，（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，

∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x₂-x₁≥1；

（III）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，

当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x 12+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；

当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；

两直线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2   ① lnx2-1=- x 21 +a   ②

，

由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，

令t=

1

x2

，则0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，设h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）

则h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，

则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．