问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）当实数k在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点． |
答案
（1）f′（x）=3x2+2k．
由f′(x)=0，x=±
．（2分）-k
当x＜-
或x＞-k
时，f'（x）＞0-k
当-
＜x＜-k
时，f'（x）＜0-k
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-
），（-k
，+∞）-k
递减区间为(-
，-k
)．（6分）k
（2）由（1）知，当x=-
时，f（x）取得极大值f(--k
)=-k
(4 3
)3-1，-k
当x=
时，f（x）取得极小值f(-k
)=--k
(4 3
)3-1（8分）-k
依题意，要使函数y=f（x）与y=3只有一个公共点，须f（x）极大＜3，或f（x）极小＞3．（10分）
由
，解得-
(4 3
)3＜k＜0-k
＜k＜03 9
而
无解．-
(4 3
)3-1＞3-k
所以，所求实数k的取值范围是(-
，0)．（13分）3 9