问题 解答题
已知函数f(x)=
2
3
x3+2kx-1(k<0)

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当实数k在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.
答案

(1)f′(x)=3x2+2k.

f′(x)=0,x=±

-k
.(2分)

当x<-

-k
或x>
-k
时,f'(x)>0

当-

-k
<x<
-k
时,f'(x)<0

∴f(x)的单调增区间是(-∞,-

-k
),(
-k
,+∞)

递减区间为(-

-k
k
).(6分)

(2)由(1)知,当x=-

-k
时,f(x)取得极大值f(-
-k
)=
4
3
(
-k
)
3
-1

x=

-k
时,f(x)取得极小值f(
-k
)=-
4
3
(
-k
)
3
-1
(8分)

依题意,要使函数y=f(x)与y=3只有一个公共点,须f(x)极大<3,或f(x)极小>3.(10分)

4
3
(
-k
)
3
<k<0
,解得-
39
<k<0

-
4
3
(
-k
)
3
-1>3
无解.

所以,所求实数k的取值范围是(-

39
,0).(13分)

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