问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)当实数k在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. |
答案
(1)f′(x)=3x2+2k.
由f′(x)=0,x=±
.(2分)-k
当x<-
或x>-k
时,f'(x)>0-k
当-
<x<-k
时,f'(x)<0-k
∴f(x)的单调增区间是(-∞,-
),(-k
,+∞)-k
递减区间为(-
,-k
).(6分)k
(2)由(1)知,当x=-
时,f(x)取得极大值f(--k
)=-k
(4 3
)3-1,-k
当x=
时,f(x)取得极小值f(-k
)=--k
(4 3
)3-1(8分)-k
依题意,要使函数y=f(x)与y=3只有一个公共点,须f(x)极大<3,或f(x)极小>3.(10分)
由
,解得-
(4 3
)3<k<0-k
<k<03 9
而
无解.-
(4 3
)3-1>3-k
所以,所求实数k的取值范围是(-
,0).(13分)3 9