问题
解答题
已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m与n的关系表达式；
（II）求f（x）的单调区间．
答案
（I）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+
)]．2 m
当m＜0时，有1＞1+
，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：2 m
| x | (-∞，1+
| 1+
| (1+
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f′（x） | ＜0 | 0 | ＞0 | 0 | ＜0 | ||||||
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
| 2 |
| m |
在(1+
，1)单调递增，（1+∞）单调递减．2 m