问题
解答题
| 已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若x=-
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由． |
答案
（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，
≤1且f′（1）=-2a≥0，a 3
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得f′(-
)=0，1 3
+1 3
a-3=0，a=4，2 3
∴f（x）=x3-4x2-3x，
令f′（x）=3x2-8x-3=0，
解得x1=-
，x2=3，1 3
而f(1)=-6，f(3)=-18，f(-
)=-12，1 3
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根，则
方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则
，△=16+4(b+3)＞0 -3-b≠0
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．