问题
解答题
已知函数f（x）=x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．
答案
（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）eax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-
.2 a
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜-
，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，-2 a
)上单调递增；2 a
若x＞-
，则f′(x)＜0，从而f(x)在(-2 a
，+∞)上单调递减．2 a
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=ea．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(-
)=2 a
.4 a2e2