问题
解答题
已知函数f（x）=
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若f（x）≥
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答案
（I）求导函数，可得f′(x)=-lnx x2
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；
（II）f（x）≥
恒成立，即k x+1
≥k恒成立，(x+1)(1+lnx) x
记g（x）=
，则g′（x）=(x+1)(1+lnx) x x-lnx x2
再令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-1 x
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增
∴[g（x）]min=g（1）=2
∴k≤2．