设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-1a

问题解答题

设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-

)=f(

)（a∈R，且a≠0），函数g（x）=ax³+bx²+cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上．
（1）试求a、b的值；
（2）若x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，求正整数c的值．

答案

（1）∵f（-1）=f（1），∴|1-a|=2+|a+1|①

又f(-

)=f(

)，

∴|1-

|=|

+1|+2，即|1-a|=2|a|+|a+1|②

由①②得|a|=1，

∴a=±1．

又∵a=1时，①、②不成立，

故∴a=-1．

∴g（x）=-x³+bx²+cx，

设x₁、x₂是函数g（x）的两个极值点，则x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的两个根，△=4b²+12c＞0（c为正整数），

∴x₁+x₂=

，

又∵A、O、B三点共线，

∴

+cx1

+cx2

，

∴（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，

又∵x₁≠x₂，

∴b=x₁+x₂=

，

∴b=0．

（2）∵x≥0时，f（x）_min=2，

由g′（x）=-3x²+c=0得x=

，可知g（x）在(0，

)上单调递增，在(

，+∞)

上单调递减，g(x)极大值=g(

)=-

．

①由

≤1

＜2

得c＜3，∴c的值为1或2．（∵c为正整数）

②

＞1时，记g（x）在x∈[1，

]上切线斜率为2的切点的横坐标为x₀，

则由g′（x）=-3x²+c=2得x0=

c-2

，依题意得g（x₀）＜f（x₀），∴-x03+cx0＜2x0， ∴x02＞c-2， ∴

c-2

＞c-2，得c＜2，与c＞3矛盾．

（或构造函数h（x）=2x-g（x）在x≥1上恒正）

综上，所求c的值为1或2．