问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）求f（x）的最大值与最小值； （2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）因为函数f（x）=
-lnx，x2 8
所以f′（x）=
-x 4
，令f′（x）=0得x=±2，1 x
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=
-ln2；1 2
又f（1）=
，f（3）=1 8
-ln3，9 8
∵ln3＞1∴
-(1 8
-ln3)=ln3-1＞09 8
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为
，1 8
x=2时函数取得最小值为
-ln2．1 2
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x）≤
，1 8
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4-at恒成立，
只要4-at＞
对任意t∈[0，2]恒成立，即at＜1 8
恒成立31 8
记 g（t）=at，t∈[0，2]
∴
，解得a＜g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8
，31 16
∴实数a的取值范围是（-∞，
）．31 16