问题
解答题
两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c是正数，a≠c，试判断以a、b、c为边的三角形的形状．
答案
解方程x2+2ax+b2=0得，
x1=
=-a+-2a+ (2a)2-4b2 2
，a2-b2
x2=
=-a--2a- (2a)2-4b2 2
，a2-b2
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3=
=-c+-2c+ (2c)2+4b2 2
，c2+b2
x4=
=-c--2c- (2c)2+4b2 2
．c2+b2
∵两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点，
∴方程x2+2ax+b2=0和x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+
=-c+a2-b2
；c2+b2
移项得，c-a=
-c2+b2
，a2-b2
∵a≠c，
两边平方得，c2+a2-2ac=c2+b2+a2-b2-2
•c2+b2
，a2-b2
整理得，ac=
•c2+b2
，a2-b2
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．