（1）证明：∵a=1，x≥1时，f′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

≥0，

∴f（x）在[1，+∞）为增函数，

∴f（x）≥f（1）=0；

（2）f′(x)=

(2x+a+2)(x-1)

x

(x＞0)

∴a∈（-4，-2）时，函数的单调增区间为(0，-

a+2

2

)，(1，+∞)，单调减区间为(-

a+2

2

，1)；

a=-4，函数的单调增区间为（0+∞）；

a＜-4时，函数的单调增区间为（0，1），(-

a+2

2

，+∞)，单调减区间为(1，-

a+2

2

)；

（3）证明：由（1）得：当x＞1时，x²+x-2＜3lnx，

∴

(x-1)(x+2)

3

＞lnx

∴

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x+2

∴

1

ln2

＞

1

2-1

-

1

2+2

，

1

ln3

＞

1

3-1

-

1

3+2

，

1

ln4

＞

1

4-1

-

1

4+2

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞（1+

1

2

+

1

3

）-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）=（

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）