问题
解答题
设函数f（x）=p（x-
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值； （II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围． |
答案
（Ⅰ）方法一：∵f′(x)=p+
-p x2
，∴f'（1）=2p-2．2 x
设直线，并设l与g（x）=x2相切于点M（x0，y0）
∵g'（x）=2x，∴2x0=2p-2，解得
∴x0=p-1，y0=(p-1)2，
代入直线l方程解得p=1或p=3．
方法二：将直线方程l代入y=x2得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）2-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)=p+
-p x2
=2 x
．．px2-2x+p x2
①要使f（x）为单调增函数，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px2-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥
=2x x2+1
在（0，+∞）恒成立，2 x+ 1 x
又
≤1，所以当p≥1，此时f（x）在（0，+∞）为单调增函数； 2 x+ 1 x
②要使f（x）为单调减函数，须f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤
，（0，+∞）恒成立，又2x x2+1
≥0，所以p≤0．当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．2x x2+1
综上，若f（x）在（0，+∞）为单调函数，则p的取值范围为p≥1或p≤0．
