问题
解答题
已知x∈R，奇函数f（x）=x3-ax2-bx+c在[1，+∞）上单调．
（1）求字母a，b，c应满足的条件；
（2）设x0≥1，f（x0）≥1，且满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
答案
（1）∵f（0）=0⇒c=0；f（x）+f（-x）=0⇒a=0．∵f'（x）=3x2-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函数，则f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x2）min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是减函数，则f'（x）≤0恒成立，这样的b不存在．
综上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假设f（x0）≠x0，不妨设f（x0）=a＞x0≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上单调递增，故f[f（x0）]=f（a）＞f（x0）＞x0，
这与已知f[f（x0）]=x0矛盾，故原假设不成立，即有f（x0）=x0．