（1）f′(x)=

1

2

(1-

a

x2

)≥0在（1，+∞）上恒成立，

则a≤x²在（1，+∞）上恒成立，

∴a≤1．…（3分）

又g′(x)=

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，

则a≥

1

x

在（1，+∞）上恒成立．

∴a≥1．…（5分）

从而为a=1…（7分）

（2）依题意可知，证明对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），

总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．

设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；

由（1）可知y=-f（x）=-

1

2

(x+ 

1

x

)在[1，m]上为减函数，

g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数

∴M=[-

1

2

(m+

1

m

)，-1]，N=[lnm-m，-1]…（10分）

设ϕ(x)=x-

1

x

-2lnx，(x＞1)

则∵x＞1，

∴ϕ′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

＞0，

∴y=ϕ（x）在（1，+∞）上为增函数

∵m＞1，

∴ϕ（m）＞ϕ（1）=0

∴2lnm＜m-

1

m

∴-

1

2

(m+

1

m

)＞lnm-m…（14分）

∴M⊆N，即对于任意的x₁[1，m]（m＞1）

总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0…（15分）