由题意设球的半径为R，正三棱锥在底面的投影是底面的中心，

由于一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为

2

，故底面三角形的高为

6

2

，底面中心到底面三角形的顶点的距离是

2

3

×

6

2

=

6

3

故三棱锥的顶点到底面的距离是

12-( 6​ 3 )2

=

3

3

故球心到底面的距离是

3

3

-R，由几何体的结构知(

6​

3

)2+(

3​

3

-R)2=R2得R=

3

2

此球的表面积为4×π×(

3

2

)2=3π

故答案为3π