问题 解答题

已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,e)处公共切线.

(I)求a,b的值;

(II)记h(x)=f(x)+g(x),判断函数h(x)的单调性.

答案

(I)由已知可得f(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,

由题意可得

f(1)=g(1)
f(1)=g(1)
,即
1+a=1+b
2a=3+b

解得a=b=3.

(II)由(I)可得f(x)=3x2+1,g(x)=x3+3x,

∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2+3x+1,

∴h(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,

因此h(x)在R上单调递增.

单项选择题
填空题