问题
解答题
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,e)处公共切线.
(I)求a,b的值;
(II)记h(x)=f(x)+g(x),判断函数h(x)的单调性.
答案
(I)由已知可得f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由题意可得
,即f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)
,1+a=1+b 2a=3+b
解得a=b=3.
(II)由(I)可得f(x)=3x2+1,g(x)=x3+3x,
∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2+3x+1,
∴h′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
因此h(x)在R上单调递增.