问题
解答题
若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）=f（x0）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”
（1）函数f（x）=2x+x2是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时，求g（x）的单调区间．
答案
（1）函数f（x）=2x+x2关于1可线性分解．理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2x+1+（x+1）2-2x-x2-2-1，
化为h（x）=2（2x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2，
∴存在零点x0∈（0，1），使得h（x0）=0，即f（x0+1）=f（x0）+f（1）．
（2）由题意，存在x0，使g（x0+a）=g（x0）+g（a），
即ln（x0+a）-a（x0+a）+1=lnx0-ax0+1+lna-a2+1，
化为ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即ln
=1，x0+a ax0
∴
=e，解得x0=x0+a ax0
＞0，a ae-1
由a＞0，得a＞
．1 e
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1．
g′(x)=
-1=1 x
．1-x x
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调递增区间是（0，1）；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（1，+∞）．