问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）当a=2时，求证：对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有
（2）若x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），
因为g′(x)=f′(x)+1=
≥0，(x-1)2 x
所以g（x）在（0，+∞）上递增，（3分）
所以g（x2）＞g（x1），
故
＞-1．（5分）f(x2)-f(x1) x2-x1
（2）∵x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，
当a≤1时，
f′(x)=x+
-a-1＞2-a-1≥01 x
∴f（x）在（1，3）上递增，
所以f（x）＞f（1）=0满足条件．（8分）
当a＞1时，
令f′(x)＜0⇒0＜
=x1＜x＜x2=a+1- a2+2a-3 2
，a+1+ a2+2a-3 2
∵f′（1）=1-a＜0，
∴x1＜1＜x2，
令b=min{x2，3}，则f（x）在（1，b）上递减，
所以f（x）＜f（1）=0，不合题意．（11分）
综上a的取值范围为{a|a≤1}．（12分）