问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R） （1）若a=0，判断函数的单调性 （2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围； （3）当
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答案
（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x2+x-xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得b≤1-
-1 x
．lnx x
令g(x)=1-
-1 x
，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．lnx x
∴g（x）min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-
在（0，1）上单调递减1+lnx x
∴
＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）1 e
即
＜1+lnx x 1+lny y
而
＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞01 e
∴
＜y x
．1+lny 1+lnx