f'（x）=

a

x

-a（x＞0）

（I）a=1时，f'（x）=

1

x

-1（x＞0），令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以f（x）在区间（0，1）递增，

令f'（x）＜0解得x＞1，所以f（x）在区间（1，+∞）递减，

（II）函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，

f'（2）=1，即

a

2

-a=1，故a=-2，由此得f'（x）=

-2

x

+2

∴g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]=x³+x²（

m

2

+

-2

x

+2）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2

∵对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在区间（t，3）上总存在极值

∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2在区间（t，3）上总有根，

∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，

解得-

37

3

＜m＜-9

（III）a=2时，f（x）=2lnx-2x-3

令F（x）=f（x）-h（x）=2lnx-px-

p+2

x

F'（x）=

2

x

-p+

p+2

x2

=

2x-px2+p+2

x2

=

-p(x- p+2 p ) (x+1)

x2

①p+2=0时，F'（x）=

2x+2

x2

＞ 0，∴F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2＜0不成立，舍

②1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，同①不成立，舍；

③-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，∴F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以p＜-1

④p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立

⑤p＞0时，无不成立

综上，p≤-1