问题
解答题
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x3+x2-x+1，
∴f′(x)=3(x-
)(x+1)，且x∈[-1，2]． 1 3
∴f（x）在区间[-1，
]上递减，[1 3
，2]上递增，1 3
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=2与f（2）=11的最大者比较，
即f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=11，最小值为f(
)=1 3
． 22 27
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
)(x+a)． a 3
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(
，+∞)上是增函数，g（x）在(a 3
，+∞)上是增函数．1 a
由题意得
解得a≥1． a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a
当a＜0时，f（x）在(-∞，
)和（-a，+∞）上是增函数，g（x）在(-∞，a 3
)上是增函数．1 a
由题意得
解得a≤-3．a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．