（1）h(x)=lnx+x2+bx+c(x＞0)，h/(x)=

1

x

+2x+b，

依题，h/(x)=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立，

法1：b≥[-(

1

x

+2x)]max，又-(

1

x

+2x)≤-2

1 x •2x

=-2

2

（当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时取等）

∴b≥-2

2

．

法2：h/(x)=

2x2+bx+1

x

，令t（x）=2x²+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

由二次函数t（x）图象得，

1°

- b 4 ≥0 △≤0

⇒-2

2

≤b≤0；

2°

- b 4 ＜0 t(0)=1＞0

⇒b＞0，

综合1°、2°得b≥-2

2

．

（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，

设P（x₀，y₀），l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，

则tanα=

1

x0

，tanβ=2x0，由于x₀＞0，则α，β均为锐角，

因为切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：

1°α=2β时，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

⇒

1

x0

=

4x0

1-4x02

⇒x02=

1

8

⇒x0=

2

4

，

此时，P(

2

4

，ln

2

4

)，c=ln

2

4

-

1

8

；

2°β=2α时，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

⇒2x0=

2 x0

1- 1 x02

=

2x0

x02-1

⇒x02=2⇒x0=

2

，

此时，P(

2

，ln

2

)，c=ln

2

-2．

（3）b=-2e²时，

令ϕ(x)=

f(x)

x

-g(x2)=

lnx

x

-x4+2e2x2-c(x＞0)ϕ/(x)=

1-lnx

x2

-4x(x2-e2)，

0＜x＜e时，∅^/（x）＞0；x＞e时，∅^/（x）＜0

∴∅（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，

∴ϕmax(x)=ϕ(e)=e4+

1

e

-c，

又x→0时，∅（x）→-∞；x→+∞时，∅（x）→-∞

1°∅（e）＞0即c＜e4+

1

e

时，函数∅（x）有两个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有两个根；

2°∅（e）=0即c=e4+

1

e

时，函数∅（x）有一个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有一个根；

3°∅（e）＜0即c＞e4+

1

e

时，函数∅（x）没有零点即方程

f(x)

x

=g(x2)没有根．