问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有
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答案
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=x-a+
=a-1 x
=x2-ax+a-1 x (x-1)(x+1-a) x
（i）若a-1=1即a=2，则f′(x)=(x-1)2 x
故f（x）在（0，+∞）单调增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）单调减，
在（0，a-1），（1，+∞）单调增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）单调减，
在（0，1），（a-1，+∞）单调增．
（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=
x2-ax+(a-1)lnx+x1 2
则g′(x)=x-(a-1)+
≥2a-1 x
-(a-1)=1-(x• a-1 x
-1)2a-1
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）单调增加，
从而当x1＞x2＞0时有g（x1）-g（x2）＞0，
即f（x1）-f（x2）+x1-x2＞0，故
＞-1，f(x1)-f(x2) x1-x2
当0＜x1＜x2时，有
=f(x1)-f(x2) x1-x2
＞-1f(x2)-f(x1) x2-x1