问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性，并求函数y=f（x）在区间[-3，3]上的最值及相应x的值．
答案
（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0
即12-4a+b=0①
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=-3，f（1）=0
即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0
由①②解得a=1，b=-8，c=6
∴f（x）=x3+x2-8x+6
（II）f′（x）=3x2+2x-8，令f′（x）＞0，解得，x＞
，或x＜-24 3
令f′（x）＜0，解得，-2＜x＜
，4 3
∴函数的增区间为（-∞，-2）和（
，+∞）4 3
函数的减区间为（-2，
）4 3
∴当x=-2时，函数有极大值为18，当x=
时，函数有极小值为-4 3 14 27
又∵f（-3）=12，f（3）=18
∴当x=
时，函数有最小值-4 3
，当x=-2或3时，函数有最大值1814 27