问题
解答题
已知：关于x的二次函数y=-x2+（m+2）x-m．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A，过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限，当m为何值时，△PAB是等边三角形．
答案
（1）证明：二次函数y=-x2+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m，
∴顶点P的纵坐标为
=4ac-b2 4a
=4m-(m+2)2 4×(-1)
＞0，m2+4 4
∴顶点P总在x轴上方；
（2）二次函数y=-x2+（m+2）x-m与y轴交于点A（0，-m），
顶点P（
，m+2 2
），m2+4 4
过P作PC⊥AB于C，则C（
，-m），m+2 2
因为点P在第一象限，所以
＞0，m+2 2
AC=
，PC=m+2 2
+m，m2+4 4
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAC=60°，
由tan∠PAC=
得PC AC
+m=m2+4 4
（3
），m+2 2
整理得：（m+2）2=2
（m+2），3
∴m+2=23
∴m=2
-2，3
即m=2
-2时，△PAB是等边三角形．3
