问题
解答题
| 已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1） （Ⅰ）求函数r(x)=
（Ⅱ）若对任意的n∈N+，都有an＞0，且a1+a2+…+a2013=2013e（e为自然对数的底），求f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）的最小值． |
答案
（Ⅰ）r(x)=
=1 f(x)
，r′(x)=-1 xlnx
，所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．1+lnx (xlnx)2
当x∈(0，
)时，r'（x）＞0．r（x）单调递增；当x∈(1 e
，1)和x∈（1，+∞）时，r'（x）＜0，r（x）单调递减．1 e
（Ⅱ）当a1=a2=…=a2013=e时，f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）取得最小值2013e，
下面给予证明：
函数f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y=2x-e
令g（x）=f（x）-（2x-e）=xlnx-2x+e，g'（x）=lnx-1，
则函数y=g（x）在x∈（0，e）单调递减，在x∈（e，+∞）单调递增
当x=e时，y=g（x）取得最小值为0，即f（x）≥2x-e恒成立．
故f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）≥2（a1+a2+…+a2013）-2013e≥2013e
当且仅当a1=a2=…=a2013=e取得最小值．此时f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）取得最小值2013e．