问题
解答题
已知函数f（x）=x2-2alnx，g(x)=
（1）讨论函数f（x）的单调区间； （2）若f（x）≥g'（x）对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f′(x)=2x-
=2a x
，…（2分）2x2-2a x
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′（x）＞0得x＞
，∴f（x）在(a
，+∞)上为增函数；a
令f′（x）＜0得0＜x＜
，∴f（x）在(0，a
)上为增函数，a
综上：当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为(
，+∞)，减区间为(0，a
)．…（6分）a
（2）∵g′（x）=x2-2x，∴f（x）≥g′（x）即alnx-x≤0，
由题意，a≤
在（1，+∞）上恒成立，…（8分）x lnx
令h(x)=
，则h′(x)=x lnx
，lnx-1 ln2x
令h′（x）＞0得x＞e，∴h（x）在（e，+∞）上为增函数；
令h′（x）＜0得0＜x＜e，∴h（x）在（0，e）上为减函数；
故h(x)=
在x=e取最小值，∴a≤h（e）=e，∴a≤e．…（12分）x lnx
（或令h（x）=alnx-x，即h（x）max≤0，分类讨论即可）