问题
解答题
设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），
（1）求点A、B的坐标； （2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状． |
答案
（1）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0；当-1＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）；
（2）由题意，
=(1+x，y)，AP
=(mx-m，2y)OC
∵
•AP
=1-mOC
∴（1+x）（mx-m）+2y2=1-m
∴mx2+2y2=1
①m=0时，y=±
，表示两条平行直线；2 2
②m=2时，x2+y2=
，表示原点为圆心，半径为1 2
的圆；2 2
③m＜0时，
-y2 1 2
=1，表示焦点在y轴上的双曲线；x2 - 1 m
④m＞0时，
+y2 1 2
=1，若0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；若m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．x2 1 m
