问题 解答题

已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.

答案

(Ⅰ)∵f(x)=ex-

1
x+m
,x=0是f(x)的极值点,∴f(0)=1-
1
m
=0
,解得m=1.

所以函数f(x)=ex-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞).

f(x)=ex-

1
x+1
=
ex(x+1)-1
x+1

设g(x)=ex(x+1)-1,则g(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上为增函数,

又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f(x)>0;当-1<x<0时,g(x)<0,f(x)<0.

所以f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;

(Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f(x)>0.

当m=2时,函数f(x)=ex-

1
x+2
在(-2,+∞)上为增函数,且f(-1)<0,f(0)>0.

故f(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(-1,0).

当x∈(-2,x0)时,f(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f(x)>0,

从而当x=x0时,f(x)取得最小值.

由f(x0)=0,得ex0=

1
x0+2
,ln(x0+2)=-x0

故f(x)≥f(x0)=

1
x0+2
+x0=
(x0+1)2
x0+2
>0.

综上,当m≤2时,f(x)>0.

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