问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2ln（ax）（a＞0） （1）若f′（x）≤x2对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围； （2）当a=1时，设函数g(x)=
|
答案
（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x2，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2lnax+1-xu′(x)=
-1=0，x=2，x＞2时，单调减，2 x
x＜2单调增，所以x=2时，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤
（5分）e 2
（2）当a=1时，g(x)=
=xlnx，g(x)=1+lnx=0，x=f(x) x
，1 e
所以在(
，+∞)上g（x）是增函数，(0，1 e
)上是减函数（6分）1 e
因为
＜x1＜x1+x2＜1，所以g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx11 e
即lnx1＜
ln(x1+x2)x1+x2 x1
同理lnx2＜
ln(x1+x2)（8分）x1+x2 x2
所以lnx1+lnx2＜(
+x1+x2 x2
)ln(x1+x2)=(2+x1+x2 x1
+x1 x2
)ln(x1+x2)x2 x1
又因为2+
+x1 x2
≥4，当且仅当“x1=x2”时，取等号（10分）x2 x1
又x1，x2∈(
，1)，x1+x2＜1，ln（x1+x2）＜0（11分）1 e
所以(2+
+x1 x2
)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)x2 x1
所以lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）
所以：x1x2＜（x1+x2）4（12分）