（Ⅰ） f′(x)=

x(2lnx-1)

ln2x

令f'（x）=0可得x=

e

．列表如下：

x	（0，1）	(1， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	减	减	极小值	增

单调减区间为（0，1），(1，

e

)；增区间为(

e

，+∞)．------------（5分）

（Ⅱ）由题，f′(x)=

(x-a)(2lnx+ a x -1)

ln2x

对于函数h(x)=2lnx+

a

x

-1，有h′(x)=

2x-a

x2

∴函数h（x）在(0，

a

2

)上单调递减，在(

a

2

，+∞)上单调递增

∵函数f（x）有3个极值点x₁＜x₂＜x₃，

从而hmin(x)=h(

a

2

)=2ln

a

2

+1＜0，所以a＜

2

e

，

当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，

∴函数f（x）的递增区间有（x₁，a）和（x₃，+∞），递减区间有（0，x₁），（a，1），（1，x₃），

此时，函数f（x）有3个极值点，且x₂=a；

∴当0＜a＜1时，x₁，x₃是函数h(x)=2lnx+

a

x

-1的两个零点，----（9分）

即有

2ln⁡x1+ a x1 -1=0 2ln⁡x3+ a x3 -1=0

，消去a有2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃

令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点x=

1

e

，且x1＜

1

e

＜x3

∴函数g（x）=2xlnx-x在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增

要证明    x1+x3＞

2

e

⇔x3＞

2

e

-x1⇔g(x3)＞g(

2

e

-x1)

因为g（x₁）=g（x₃），所以即证g(x1)＞g(

2

e

-x1)⇔g(x1)-g(

2

e

-x1)＞0

构造函数F(x)=g(x)-g(

2

e

-x)，则F(

1

e

)=0

只需要证明x∈(0，

1

e

]单调递减即可．而F′(x)=2lnx+2ln(

2

e

-x)+2，F″(x)=

2( 2 e -2x)

x( 2 e -x)

＞0，所F'（x）在(0，

1

e

]上单调递增，

所以F′(x)＜F(

1

e

)=0．

∴当0＜a＜1时，x1+x3＞

2

e

．--------（15分）