（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-

1

2

，+∞)，且f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

，…（1分）

因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，

即f'（2）=2-（1+2a）+

4a+1

4+1

=0，．…（2分）

解得a=1．…（3分）

经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（4分）

（Ⅱ）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2a…（6分）

i、当2a＞

1

2

，即a＞

1

4

时，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）…（7分）

ii、当2a=

1

2

，即a=

1

4

时，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）                     …（8分）

iii、当0＜2a＜

1

2

，即0＜a＜

1

4

时，

x	（- 1 2 ，2a）	2a	（2a， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）…（9分）

综上所述：

0＜a＜

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）a=

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）

（Ⅲ）由题意，a＞

1

4

时，存在x₀∈（

1

2

，+∞），f（x₀）＜

1

2

-2a2，即a＞

1

4

时，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值小于

1

2

-2a2．…（10分）

由（Ⅱ）a＞

1

4

时，f（x）在（

1

2

，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值为f（2a），…（11分）

所以f（2a）＜

1

2

-2a2，

即2a2-2a(1+2a)+

4a+1

2

ln(4a+1)＜

1

2

-2a2…（12分）

化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，a＜

e-1

4

，

又a＞

1

4

，所以

1

4

＜a＜

e-1

4

，所求实数a的取值范围为(

1

4

，

e-1

4

)．…（13分）