（1）当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）

令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，

∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；

（2）证明：当x＞0时，欲证

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

构造函数g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

，则g′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0

∴g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

在（0，+∞）上单调递增

∴g（x）＞g（0）=0

∴当x＞0时，ln(x+1)＞

2x

x+2

∴当x＞0时，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立；

（3）(1+

1

n

)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+

1

n

）≥1

∴a≥

1

ln(1+ 1 n )

-n

∵当x＞0时，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，∴

1

ln(1+ 1 n )

-n＜

1

2

∴a≥

1

2

∴常数a的最小值为

1

2

．