问题
解答题
已知函数f（x）=axlnx，g(x)=-
（1）令h(x)=
（2）若对任意的e＜x1＜x2＜e2，总有f（x1）-f（x2）＜g（x1）-g（x2）成立，试求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数） |
答案
（1）∵h(x)=alnx+
x2-(a+1)x，（x＞0）．1 2
∴h′(x)=
+x-(a+1)=a x
=x2-(a+1)x+a x
．(x-1)(x-a) x
①当a≤0时，f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，f（x）的递增区间为（0，a），（1，+∞），递减区间为（a，1）；
③当a=1时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；
④当a＞1时，f（x）的递增区间为（0，1），（a，+∞），递减区间为（1，a）．
（2）对任意的e＜x1＜x2＜e2，总有f（x1）-f（x2）＜g（x1）-g（x2）成立，
即f（x1）-g（x1）＜f（x2）-g（x2）
令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+
x2-(a+1)x，1 2
由题意得y=F（x）在区间（e，e2）上为增函数．
∴F'（x）=alnx+x-1≥0，对x∈（e，e2）恒成立，
所以a≥
对x∈（e，e2）恒成立，1-x lnx
令ϕ(x)=
，1-x lnx
则ϕ′(x)=
=-lnx- 1-x x (lnx)2
=-xlnx+x-1 x(lnx)2
＜0，x(1-lnx)-1 x(lnx)2
所以ϕ（x）在区间（e，e2）上单调递减，
所以ϕ（x）＜ϕ（e）=1-e，
所以a≥1-e．
所以a≥1-e． …（10分）