（1）∵函数f（x）=x+

2

x

+1-a1nx，a＞0

∴f′（x）=1-

2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2

x2

，x＞0

令y=x²-ax-2（x＞0）

△=a²+8＞0恒成立，即y=0有两个不等根

a± a2+8

2

，

由x²-ax-2＞0，得x＞

a+ a2+8

2

，由x²-ax-2＜0，得 0＜x＜

a- a2+8

2

综上，函数f（x）在（0，

a- a2+8

2

）上是减函数，在（

a+ a2+8

2

，+∞）上是增函数．

（2）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，

故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数

又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e²）=e²+

2

e2

-1＞4

∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[4-ln2，e²+

2

e2

-1]