（Ⅰ）令F(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-2

x-1

x+1

，F′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．

当x＞1时，F'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．

∵F（x）在x=1 处连续，∴F（x）＞F（1）．

∵F（1）=0，∴当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0 恒成立．

∴f(x)＞2g(

x-1

x+1

)．

（Ⅱ）原方程化为

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)=k，

令G(x)=

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)，则G(x)=

1

2

x2-2ln(1+|x|)．

∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函数．

当x≥0时，G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0），

则G′(x)=x-

2

1+x

=

x2+x-2

1+x

．

∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．

当x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）单调递减；

当x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）单调递增．

∴x≥0时，在x=1处G（x）取得极小值为G（1）=

1

2

-2ln2．

又G（0）=0，∴当k∈（

1

2

-2ln2，0）时函数G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0）与y=k 有两个不同的交点．

∵G（x）是偶函数，

∴G（x）=k在k∈（

1

2

-2ln2，0）时有四个不同的实数根．