问题
解答题
已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
答案
∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6即（x1+x2）-（x3+x4）=6
∴（x1+x2）-（x3+x4）=-b+b2=6，即b2-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即
=(x1+x2)2-4x1x2 (x3+x4)2-4x3x4
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有两实根
∴△=b4-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x2-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x2+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：(-
，-3 2
)．1 4