（Ⅰ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

x2

4

+1，

∴f′(x)=

-1

2x

+

x

2

=

x2-1

2x

．

∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）

∴f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，

而f(1)=

5

4

，f(

1

e

)=

3

2

+

1

4e2

，f(e)=

1

2

+

e2

4

，

∴f(x)max=f(e)=

1

2

+

e2

4

，f(x)min=f(1)=

5

4

．---------------------------（6分）

（Ⅱ）f′(x)=

(a+1)x2+a

x

，x∈(0，+∞)．

①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）

②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）

③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得x2＞

-a

a+1

，∴x＞

-a a+1

或x＜-

-a a+1

（舍去）

∴f（x）在(

-a a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a a+1

)上单调递减；--------------------（10分）

综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；

当-1＜a＜0时，f（x）在(

-a a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a a+1

)上单调递减．

当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；-----------------------（12分）