问题
解答题
（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
答案
（1）f'（x）=12x2+6tx-6t2，令f'（x）=0，得x1=-t或x2=
．t 2
1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为(-∞，-t)∪(
，+∞)t 2
∴f（x）的单调增区间为(-∞，-t)，(
，+∞)，f（x）的单调减区间为(-t，t 2
)．t 2
2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为(
，-t)t 2
∴f（x）的单调增区间为(-∞，
)，(-t，+∞)，f（x）的单调减区间为(t 2
，-t)．t 2
（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在(0，
)内递减，(t 2
，+∞)内单调递增．t 2
1°当
≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．t 2
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t2+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）内有零点．
2°当0＜
＜1，即0＜t＜2时，f（x）在(0，t 2
)内递减，在(t 2
，1)内单调递增．t 2
若t∈(0，1]，f(
)=-t 2
t3+t-1≤-7 4
t3＜0，f（1）=-6x2+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞07 4
∴f（x）在(
，1)内存在零点．t 2
若t∈(1，2)，f(
)=-t 2
t3+t-1＜0，f（0）=t-1＞07 4
∴f（x）在(0，
)内存在零点．t 2
∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．