（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．

令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；

令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．

从而f（x）在（0，

1

e

）单调递减，在（

1

e

，+∞）单调递增．

所以，当x=

1

e

时，f（x）取得最小值-

1

e

．

（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+

3

x

，

设h（x）=2lnx+x+

3

x

，

则h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）_min=h（1）=4

故a≤4

即实数a的取值范围为（-∞，4]

证明：（III）若lnx＞

1

ex

-

2

ex

则lnx•x＞

x

ex

-

2

e

，

由（I）得：lnx•x≥-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时，取最小值；

设m（x）=

x

ex

-

2

e

，则m′（x）=

1-x

ex

，

∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，h（x）单调递增，

x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，h（x）单调递减，

故当x=1时，h（x）取最大值-

1

e

故对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．