已知函数f（x）=x2eax，其中a＞0，e为自然对数的底数．（I）求f′（x

问题解答题

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a＞0，e为自然对数的底数．

（I）求f′（x）；

（II）求f（x）的单调区间；

（III）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

答案

（I）f′（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x+ax²）e^ax．…（3分）

（II）∵a＞0，e^ax＞0

当2x+ax²＞0时，得x＜-

或x＞0，…（6分）

当2x+ax²＜0时，得-

＜x＜0，…（9分）

所以，函数f（x）在区间（-∞，-

）内为增函数，在区间（-

，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．…（11分）

（III）函数f（x）在区间[0，+∞）内为增函数，

∴f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e^a．…（12分）