问题
解答题
函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，求f（x）在该区间上的最小值．
答案
（1）由题意知P（1，4），
f′（x）=3x2+2ax+b …（2分）
∵曲线上过点P（1，f（1）） 的切线方程平行与y=3x+1，且函数y=f（x）在x=-2 时有极值．
∴
，解得 3+2a+b=3 12-4a+b=0
．a=2 b=-4
∴f（x）=x3+2x2-4x+c
（2）∵f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞
，x＜-2，f'（x）＞0；2 3
-2＜x＜
，f'（x）＜0．2 3
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-2）（
，+∞）2 3
单调减区间为：（-2，
）2 3
（3）∵函数在[-3，-2）上增，（-2，
）上减，（2 3
，1]上增；2 3
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（
）=-2 3
+c；40 27
由函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，
得f（-2）=8+c=10⇒c=2，
∴f（x）在该区间上的最小值为：f(
)=2 3
．14 27